Ein Kreis mit Radius R rollt im inneren eines größeren Kreises mit Radius 2 mal R ab. Wenn der innere Kreis im äußeren ganz links anliegt und dann nach unten hin abrollt, welche Bahn zieht dann der Punkt, der auf der Kante des inneren Kreises zu Beginn ganz links liegt?
Man muss nicht unbedingt kompliziert rechnen, um die Lösung zu verstehen. Es lässt sich auch anschaulich darstellen:
Abbildung 1:
Die Bewegung des Punkts, den man betrachten möchte, kann man in zwei Einzelbewegungen aufteilen. Für die erste Bewegung betrachtet man nur die innere Kreisscheibe in ihrem eigenen Bezugssystem. Sie dreht sich gleichmäßig im Uhrzeigersinn um ihren Mittelpunkt, und ein Punkt P auf dem Rand bewegt sich gleichmäßig mit.
Die zweite Bewegung ist die des Mittelpunkts der inneren Kreisscheibe, denn jeder Punkt der inneren Kreisscheibe macht zusätzlich zu seiner eigenen Kreisbewegung auch diese Bahn des Kreismittelpunktes mit. Der Kreismittelpunkt bewegt sich in der Rollbewegung ebenfalls kreisförmig und gleichmäßig, allerdings gegen den Uhrzeigersinn. Der Radius dieser Kreisbewegung entspricht exakt dem Radius der inneren Kreisscheibe.
Abbildung 2:
In der zweiten Abbildung betrachten wir nur die beiden Bewegungspfade für einen halben Durchlauf der inneren Kreisscheibe innerhalb des äußeren Kreises. Die beiden Bewegungen haben vom Betrag her die gleiche Geschwindigkeit und die gleiche Länge. Eine geht von ihrem Ausgangspunkt nach oben eine halbe Umdrehung im Uhrzeiger, die andere nach unten gegen den Uhrzeiger.
Addiert man nun beide Richtungen zu jedem Zeitpunkt der Bewegung auf,
heben sich die Bewegungen nach oben und unten immer gegenseitig auf.
Glücklicherweise ist das anschaulich in einer Skizze machbar, weil die
Bewegungen den gleichen Betrag in Länge und Geschwindigkeit haben - siehe die folgende Abbildung 3:
Der betrachtete Punkt erfährt eine Bewegung nach rechts, die dem doppelten Radius des inneren Kreises entspricht. Diese Bewegung ist wegen der Auslöschung der Beträge in y-Richung (nach oben und unten) geradlinig. Die Geschwindigkeit dieser Bewegung ändert sich allerdings gleichmäßig.
Dies ist eine hoffentlich anschauliche Darstellung. In der Mathematik würde dies aber wohl nicht als Beweis anerkannt. Einige der Einzeldarstellungen müssten noch korrekt bewiesen werden.